Hinweise und Lösungen

Beweis: Erwartungswert einer Binomialverteilung für n=3

1. Hinweis zur Formel von Bernoulli

Für eine Bn;p - verteilte Zufallsgröße X gilt: Bn;p(k) = nk · pk · (1-p)n-k

Für eine B3;p - verteilte Zufallsgröße X gilt: B3;p(k) = 3k · pk · (1-p)3-k

2. Hinweis zur Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für die erste Spalte mit k=0 gilt: B3;p(0) = 30 · p0 · q3-0 = q3

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der B3;p - verteilten Zufallsgröße X mit q=1-p ist:

k 0 1 2 3
P(X=k) = B3;p(k) 30 · p0 · q3-0 31 · p1 · q3-1 32 · p2 · q3-2 33 · p3 · q3-3
Ergebnis = q3 = 3 · p · q2 = 3 · p2 · q = p3
3. Hinweis zu den Termumformungen

Finde heraus, an welcher Stelle ausgeklammert, eine binomische Formel angewendet oder zusammengefasst wurde.

  1. zusammenfassen
  2. Faktor 3p ausklammern
  3. erste binomische Formel „rückwärts" anwenden
4. Hinweis zu den Folgerungen

Nutze die Festlegung q=1-p, um zu bestimmen, welches Ergebnis die Addition liefert. Setze diesen Wert anschließend in den Term ein, den du durch Umformungen erhalten hast. Wenn du diesen nun vereinfachst, zeigt dein Ergebnis genau den Zusammenhang für den Fall n=3, den wir zeigen wollten.

Aus q=1-p folgt q+p=1

Eingesetzt in E(X) = 3p · (q+p)2 erhält man: E(X) = 3p und damit E(X) = n · p für n=3.